Studio generale di una quadrica

Manlio De Domenico

19 Giugno 2003

Definizione   [defn][][][][] Si definisce quadrica $Q$ un'equazione algebrica $F(x_1,x_2,x_3,x_4)=0$ del secondo ordine omogenea.

Detta $A$ la matrice simmetrica dei coefficienti 4x4, e $\underline{x}$ il vettore delle coordinate omogenee, $Q$ ha equazione $\underline{x}^{t}A\underline{x}=0$ .

Una quadrica può essere riducibile o non riducibile, tuttavia la situazione è diversa rispetto alle coniche.

La quadrica non è specializzata (cioè non ha almeno un punto doppio) se $rg(A)=4$ ; è specializzata ma irriducibile se $rg(A)=3$ ; è specializzata e riducibile in due piani distinti se $rg(A)=2$ ; è specializzata e riducibile in due piani coincidenti se $rg(A)=1$ .

Dalla definizione data adesso di quadrica ne scaturisce subito che assegnato un piano qualunque dello spazio (dunque, algebricamente, una relazione lineare tra le 4 variabili omogenee della quadrica), si ottiene dalla sua intersezione algebrica con essa, un'equazione di $2^{\circ}$ grado in 3 variabili omogenee, che caratterizzano proprio una conica.